Докажите,что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами прямоугольника

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B у них является общим. Так как AM=MB, AB=2MB, то AB:MB=2:1. Аналогично находим, что BC:BN=2:1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. AC:MN=2:1. Так как ∆ABC и ∆MBN подобны, то равны их соответствующие углы, т.е. углы BAC и BMN равны. Для двух прямых AC, MN и секущей AB углы BAC и BMN являются соответственными, а значит AC параллельна MN. Аналогично, рассмотрев ∆ADC и ∆PDK, докажем, что AC:PK=2:1 и PK||AC. Поскольку MN||AC и PK||AC, то MN||PK. AC:MN=2:1 и AC:PK=2:1, значит MN=PK. Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. MNKP – параллелограмм. Так как AC перпендикулярна BD, а MN||AC, то MN перпендикулярна BD. Рассмотрим ∆AMF и ∆MBH. Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Углы AFM и MHB равны и являются прямыми. Рассмотрим четырехугольник FMHO. Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны. А так у нас они еще и прямые, то четырехугольник FMHO – прямоугольник. В четырехугольнике MNKP угол FMH – прямой, MN||PK и MN=PK, значит MNKP – прямоугольник. Ч.т.д. http://bit.ly/2kKtzYS