Биссектрисы АМ и ВК равностороннего треугольника АВС переекаются в точке О. Докажите, что АО : ОМ = 2 : 1.

Опишем окружность вокруг треугольника АВС, тогда АО = R – радиус окружности.Теперь рассмотрим окружность внутри треугольника, ОМ = r – радиус вписанной окружности в треугольник.Пусть стороны треугольника АВС равны а. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по теореме синусов равен:R = a/(2*sinα), и так как треугольник АВС равносторонний, то все углы равны 60 градусов, значит α = 60 градусов.R = a/(2*sin60) = a/(2*√3/2) = a/√3.Найдем радиус вписанной окружности из треугольника АОK по теореме Пифагора:ОК = r, AO = R, АК = а/2.Тогда r^2 = R^2 – (a^2)/4;r^2 = (a^2)/3 – (a^2)/4;r^2 = (a^2)/(3*4);Значит, r = a/(2√3).Таким образом, АО/ОМ = R/r = (a/√3) / (a/(2√3)) = 2:1. Утверждение доказано.