Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и острым углом а.

Обозначим треугольник как АВD, угол А – прямой, угол D равен а, тогда угол В равен (90 – а).Тогда по теореме синусов:X = АВ = С*sina.Y = AD = C*sin(90-a) = C*cosa.Длина окружности равна:Р = 2*π*r.Найдём радиус окружности.Площадь треугольника через радиус:S = r*p, r – радиус, р – полупериметр.r = S/p.С другой стороны S = (p*(p-X)*(p-Y)*(p-C))^(1/2), p = (X+Y+C)/2 = (С*sina + С*cosa +C)/2 = C/2 * (sina+cosa+1).p - C = C/2 * (cosa + sina – 1);p - X = C/2 * (1 + cosa - sina);p - Y = C/2 * (1 + sina - cosa) = C/2 * (1 – (cosa - sina));p*(p-X)*(p-Y)*(p-C) = C^4/16 * (sina+cosa+1)*(cosa + sina – 1) * (1 + cosa - sina)* 1 – (cosa - sina) = (C^4 / 16) * ((sina+cosa)^2 – 1)*(1 - (cosa - sina)^2) = (C^4 / 16) * (sin^2 a + cos^2 a + 2cosa*sina – 1)*(1 – cos^2 a + 2cosa*sina – sin^2 a) = (C^4 / 16 * 2cosa*sina * 2cosa*sina = (C^4 / 16) * (2cosa*sina)^2;S = (C^4 / 16 * (2cosa*sina)^2)^(1/2) = (C^2 / 4) * 2cosa*sina = (C^2*cosa*sina)/2, r = S/p = ((C^2*cosa*sina)/2) / C/2 * (sina+cosa+1) = C* cosa*sina/(sina+cosa+1).Таким образом, длина окружности равна: Р = 2*π*r = 2*π * C* cosa*sina/(sina+cosa+1) = π * C* sin2a/(sina+cosa+1).