Треугольник со сторонами 13 см 14 см 15 см вращается вокруг средней стороны. Чему равен объем полученного тела вращения?

Обозначим вершины данного треугольника А, В и С. Пусть АВ=15 см, ВС=14 см, АС=13 см. Тело вращения, полученное вращением треугольника АВС вокруг средней стороны ВС, состоит из двух конусов с общим основанием, радиус этого основания r равен высоте АD, проведенной к стороне вращения ВС, образующие конусов - стороны треугольника АВ и ВС, высоты конусов - отрезки ВD и СD.Таким образом, искомый объем тела равен сумме объемов двух конусов. Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту. V=V1+V2=πr^2*BD/3+πr^2*CD/3=(πr^2/3)*(BD+CD)=BC*πr^2/3=BC*π*AD^2/3. По формуле Герона найдем площадь треугольника АВС. Она равна корню из произведения полупериметра треугольника p и разностей полупериметра и каждой из его сторон: S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c). p=(13+14+15)/2=42/2=21 см. S=√21*(21-13)*(21-14)*(21-15)=84 см2. С другой стороны, площадь треугольника АВС равна половине произведения высоты AD на сторону ВС: S=AD*BC/2. Отсюда AD=2*S/BC=2*84/14=12 см. Найдем искомый объем тела вращения: V=BC*π*AD^2/3=(π*14*12^2)/3=672π≈2111,15 см3.