Часть 1. 1.Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 12,9,15 верно? а) треугольник остроугольный; б) треугольник

1. Треугольник с сторонами 12, 9 и 15 прямоугольный, потому что:15^2 = 12^2 + 9^2 (теорема Пифагора);225 = 144 + 81;225 = 225.Ответ: в) треугольник прямоугольный.2. Коэффициент подобия равен:k = a1/a2,где а1 – сторона треугольника, а2 – сходственная (соответственная) сторона подобного треугольника.k = 2/5.Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:S1/S2 = k^2,где S1 – площадь треугольника, S2 – площадь подобного треугольника.8/S2 = (2/5)^2;8/S2 = 4/25;S2 = 8*25 / 4;S2 = 2*25;S2 = 50.Ответ: 50.3.Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен:r = S/p,где S – площадь треугольника, р – полупериметр.Полупериметр равен:р = Р/2;р = 32/2 = 16 см.Найдем длину боковой стороны:Р = а + 2b;12 + 2b = 32;2b = 32 – 12;2b = 20;b = 20/2;b = 10 см.Площадь треугольника равна (по формуле Герона):S = (p – b)*√p(p – a);S = (16 – 10)*√16(16 – 12) = 6*√16*4 = 6√64 = 6*8 = 48(см^2).r = 48/16 = 3 (см).Ответ: б) 3 см.4.В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. а)12 см и 16 см; б)7 см и 11 см; в) 10 см и 13 см; г) 8 см и 15 см. АВС – прямоугольный треугольник. Вписанная окружность касается гипотенузы АС в точке М, катета ВС – в точке F, катета АВ - в точке К.1. Воспользуемся свойством отрезков касательных, которые проведены из одной точки:АК = АМ = 5 см;CF = СМ = 12 см;ВК = ВF = х см.2. АС = АМ + СМ = 5 + 12 = 17 (см);АВ = АК + ВК = 5 + х (см);ВС = CF + ВF = 12 + х (см).По теореме Пифагора:АC^2 = АВ^2 + ВС^2;(5 + х)^2 + (12 + х)^2 = 17^2;25 + 10х + х^2 + 144 + 24х + х^2 = 289;2х^2 + 34х -120 = 0;х^2 + 17х – 60 = 0.По теореме Виета:х1 = 3;х2 = -20.х2 – не подходит по смыслу.Тогда: ВК = ВF = х = 3 см, АВ = 5 + х = 5 + 3 = 8 (см), ВС = 12 + х = 12 + 3 = 15 (см).Ответ: г) 8 см и 15 см. 5.Стороны прямоугольника равны a и k. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.Радиус прямоугольника равен:R = √(a^2 + k^2) / 2.