Две стороны треугольника равны 6 и 8 см.Медианы,проведененные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.Найти третью сторону

Дан произвольный △ABC: AC = 6 см, BC = 8 см, AK и BM — медианы, пересекающиеся в точке О.1. Длина медианы вычисляется по формуле:m = (√ (2b² + 2c² - a²)) / 2,где a — сторона треугольника, к которой проведена медиана, b и c — другие стороны треугольника.Выразим длину медианы AK:AK = (√ (2AB² + 2AC² - BC²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*6² - 8²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*36 - 64)) / 2 = (√ (2AB² + 72 - 64)) / 2 = (√ (2AB² + 8)) / 2.Выразим длину медианы BM:BM = (√ (2AB² + 2BC² - AC²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*8² - 6²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*64 - 36)) / 2 = (√ (2AB² + 128 - 36)) / 2 = (√ (2AB² + 92)) / 2.2. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины.2.1. OA/OK = 2/1;OA + OK = AK.Получим систему уравнений:OA/OK = 2/1;OA + OK = (√ (2AB² + 8)) / 2.Во втором уравнении выразим OK:OK = (√ (2AB² + 8)) / 2 – OA.Подставим выражение в первое уравнение:OA / ((√ (2AB² + 8)) / 2 – OA) = 2/1;2((√ (2AB² + 8)) / 2 – OA) = OA (по пропорции);√ (2AB² + 8) – 2OA = OA;3OA = √ (2AB² + 8);OA = (√ (2AB² + 8)) / 3.2.2. OB/OM = 2/1;OB + OM = BM.Получим систему уравнений:OB/OM = 2/1;OB + OM = (√ (2AB² + 92)) / 2.Во втором уравнении выразим OM:OM = (√ (2AB² + 92)) / 2 – OB.Подставим выражение в первое уравнение:OB / ((√ (2AB² + 92)) / 2 – OB) = 2/1;2(√ (2AB² + 92) / 2 – OB) = OB (по пропорции);√ (2AB² + 92) – 2OB = OB;3OB = √ (2AB² + 92);OB = (√ (2AB² + 92)) / 3.3. Рассмотрим △AOB: ∠AOB = 90° (так как медианы перпендикулярны), OA = (√ (2AB² + 8)) / 3 и OB = (√ (2AB² + 92)) / 3 — катеты, AB — гипотенуза (так как лежи напротив прямого угла).По теореме Пифагора:AB = √ (OA² + OB²);AB = √ (((√ (2AB² + 8)) / 3)² + ((√ (2AB² + 92)) / 3 )²);AB = √ ((2AB² + 8) / 9 + (2AB² + 92) / 9);AB = √ ((2AB² + 8 + 2AB² + 92) / 9);AB = √ ((4AB² + 100) / 9) (возведем обе части уравнения в квадрат);AB² = (√ ((4AB² + 100) / 9))²;(4AB² + 100) / 9 = AB²;9AB² = 4AB² + 100 (по пропорции);9AB² - 4AB² = 100;5AB² = 100;AB² = 100/5;AB² = 20;AB = √20;AB = 2√5 см.Ответ: AB = 2√5 см.