Найдите площадь треугольника если медианы пересекаются под прямым углом и равны 5 и9

△ABC: AM = 5 и CK = 9 — медианы, пересекающиеся под прямым углом в точке О (∠AOK = ∠KOM = ∠MOC = ∠AOC = 90°.Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади, таким образом площадь △ACK равна площади △BCK, тогда площадь △ABC = 2S△ACK = 2S△BCK.1. Найдем площадь △ACK. В △ACK AO — высота, проведенная к стороне CK = 9.Медианы AM и CK точкой О делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:AO/MO = 2/1.AM состоит из двух отрезков:AO + MO = AM.Получили систему линейных уравнений с двумя неизвестными:AO/MO = 2/1;AO + MO = 5.Во втором уравнении выразим MO через AO:MO = 5 - AO.Подставим выражение в первое уравнение:AO/(5 - AO) = 2/1;2(5 - AO) = AO (по пропорции);10 - 2AO = AO;AO + 2AO = 10;3AO = 10;AO = 10/3 (по пропорции).Площадь △ACK будет равна половине произведения его высоты AO на сторону CK, к которой проведена эта высота:S△ACK = AO*CK / 2 = (10/3 * 9) / 2 = 10*3 / 2 = 30/2 = 15.2. Найдем площадь △ABC:S△ABC = 2S△ACK;S△ABC = 2*15 = 30.Ответ: S△ABC = 30.