В трапеции ABCD (AD, BC - основания) AB=BC, AC=CD, BC+CD=AD. Найдите углы трапеции

Решение. Пусть дана трапеция ABCD (AD, BC - основания), в которой AB = BC, AC = CD, BC + CD = AD. На стороне АD построим точку К таким образом, чтобы СК | | АВ, тогда ABCК будет параллелограммом. Получается, что АК = ВС по свойству параллелограмма, и так как AD = BC + CD = АК + КD, то КD = CD. Обозначим величину ∠САD = х, тогда в ∆ ACD по свойству углов при основании равнобедренного треугольника ∠СDА = ∠САD = х. В параллелограмме ABCК ∠САК = ∠АСВ = х как внутренние накрест лежащие при ВС | | АК и секущей АС. В ∆ AВС по свойству углов при основании равнобедренного треугольника ∠ВАС = ∠ВСА = х, тогда ∠ АВС = 180° – (∠ВАС + ∠ВСА) = 180° – 2 ∙ х, так как сумма углов в треугольнике составляет 180°. Получаем ∠ ВАD = ∠ВАС + ∠САD = х + х = 2 ∙ х. В ∆ CDК по свойству углов при основании равнобедренного треугольника ∠DСК = ∠DКС = (180° – х) : 2 = 90° – х/2. В трапеции ABCD: ∠BCD = ∠BCА + ∠АСК +∠КCD = х + х + 90° – х/2 = 1,5 ∙ х + 90°. Зная, что сумма углов в четырёхугольнике составляет 360°, составляем уравнение:х + 2 ∙ х + 180° – 2 ∙ х + 1,5 ∙ х + 90° = 360°; х = 36°, тогда углы трапеции∠СDА = 36°; ∠ ВАD = 72°; ∠ АВС = 108°; ∠BCD = 144°.Ответ: углы трапеции имеют величины 72°; 108°; 144°; 36°.