Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке К. Обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке А,

Решение. Пусть две окружности О и О₁ радиусами ОА = 12 и О₁В = 3 внешне касаются друг друга в точке К. Обе окружности касаются одной прямой АВ: большая – в точке А, меньшая – в точке В. Прямая АК пересекает меньшую окружность в точке С, прямая ВК пересекает большую окружность в точке D. Чтобы найти площадь четырехугольника АВСD, докажем, что он является прямоугольной трапецией АВСD с основаниями АD = 2 ∙ ОА = 24 и СВ = 2 ∙ О₁В = 6. Пусть точка М – точка пересечения касательных МК и АВ. Значит, МА и МК - касательные, проведённые из точки М к первой окружности, МК и МВ - касательные, проведённые из точки М ко второй окружности. По свойству касательных МК = МА и МК = МВ. Получаем, что МК = МА = МВ. Тогда КМ - медиана треугольника АКВ, равная половине стороны, к которой она проведена КМ = ½ ∙ ВС. Рассмотрим дополнительно окружность, описанную вокруг ∆ АКВ с центром в точке М, радиусом КМ, в ней ∠АКВ = 90°, так как он опирается на диаметр, получается, что ∆ АКВ - прямоугольный. ∠ DКС = ∠АКВ = 90°, как вертикальный, тогда и смежные для ∠ DКС и ∠АКВ будут ∠ АКD = ∠ВКС = 90°, и АD – диаметр первой окружности и ВС – диаметр второй окружности, перпендикулярные АВ. Значит, AD | | ВС и четырехугольника АВСD является прямоугольной трапецией АВСD с основаниями АD и СВ. Высоту трапеции АВ находим по теореме Пифагора (ОК + О₁К)² = АВ² + (АО - О₁В)² или 15² = АВ² + 9²; АВ = 12. Площадь трапеции S(АВСD) = (АD + ВС) ∙ АВ/2 = (24 + 6) ∙ 12/2 = 180.Ответ: площадь трапеции составляет 180 квадратных единиц.