Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

Решение. Пусть дана трапеция ABCD, у которой углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25. Из тупого угла BCD проведём высоту СН, которая отсечёт прямоугольный Δ НCD, в котором ∠НCD = 120° - 90° = 30°. По свойству катета, лежащего напротив угла величиной 30°, получаем НD = CD : 2; НD = 25 : 2 = 12,5. Высоту трапеции НC найдём из Δ НCD по теореме Пифагора: CD² = НD² + НC²; 25² = 12,5² + НC²; НС = 12,5 ∙ √3. Из вершины BАD трапеции АВСD проведём высоту АК, которая отсечёт прямоугольный Δ АКВ, в котором катет АК = НС = 12,5 ∙ √3 лежит напротив угла величиной ∠ABC = 30°, тогда гипотенуза АВ = 2 ∙ АК; АВ = 2 ∙ 12,5 ∙ √3 = 25 ∙ √3. А это и есть боковая сторона AB трапеции ABCD.Ответ: боковая сторона AB трапеции ABCD составляет 25 ∙ √3.