Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.

Дано:равнобедренный треугольник АВС,АВ и ВС — боковые стороны,АВ = 10,АС — основание,АС = 12.Найти площадь равнобедренного треугольника АВС — ?Решение:Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС. Проведем высоту АО. Она является медианой. Следовательно АО = ОС = 12 : 2 = 6.Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):АВ^2 = АО^2 + ВО^2;ВО^2 = АВ^2 - АО^2;ВО^2 = 100 - 36;ВО^2 = 64;ВО = 8.S АВС = 1/2 * ВО * АС;S АВС = 1/2 * 8 * 12;S АВС = 4 * 12;S АВС = 48.Ответ: 48.

Возьмем равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, боковыми сторонами АВ, ВС и высотой BD, проведенной к основанию АС. У равнобедренного треугольника длины боковых сторон равны между собой:

│АВ│ = │ВС│

В задаче требуется найти площадь треугольника АВС, зная что:

│АВ│ = │ВС│ = 10;

│АС│ = 12.

Используя соотношения для прямоугольного треугольника ABD, получаем:

H = │ВD│ = √(│АВ│^2 - (│АС│/2)^2) = 8;

sin(A) = H / |АB| = 4/5;

Формулы для площади треугольника

Существует несколько формул для вычисления площади произвольного треугольника ABC:

• S = ½ * a * h1 = ½ * b * h2 = ½ * c * h3;
• S = ½ * a * b * sin(C) = ½ * a * c * sin(B) = ½ * b * c * sin(A);
• S = √(p * (p-a) * (p-b) * (p-c));

Здесь S – площадь треугольника, а, b и c – длины сторон треугольника, h1, h2, h3 – высоты треугольника, проведенные к сторонам а, b и c, соответственно, A, B и С – углы треугольника, p – полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2

Формула, использующая полупериметр, называется формулой Герона в честь греческого математика, жившего в первом веке н.э.

Вычисление площади равнобедренного треугольника

Применительно к нашей задаче, указанные формулы принимают вид:

• S = ½ * │АС│ * H = ½ *12 * 8=48;
• S = ½ * │АВ│ * │AС│ * sin(A) = ½ *10 *12 * 4/5 = 48;
• p = (│АВ│ + │BC│ + │АC│) / 2 = 16, S = √(16 * (16-10) * (16-10) * (16-12)) = 48.

Как и следовало ожидать, используя разные формулы, получаем для площади S равнобедренного треугольника одинаковый результат:

S = 48

Ответ: площадь треугольника равна 48.