Биссектриса делит треугольник на два равнобедренных треугольника... Найдите углы исходного треугольника?

Рассмотрим треугольник АВС, где угол АВС равен α.Пусть ВМ — биссектриса.Тогда, углы СВМ = АВМ = α/2.Так как сторона ВМ не может быть равна сторонам АВ и ВС, то, по условию ВМ = МС и ВМ = МА.Тогда угол МАВ = углу АВМ = α/2, угол МСВ = углу СВМ = α/2.МАВ + МСВ + АВС = 180º.α/2 + α/2 + α = 180ºα = 90º.Таким образом, треугольник АВС является прямоугольным с прямым углом В и с углами А и С, равными 45º.Ответ: углы исходного треугольника равны 90º, 45º, 45º.

Биссектриса

        Биссектриса – это линия, которая выходит с одной из вершин треугольника и делит противоположную сторону пополам. Например,

http://bit.ly/2gypByR

 

         На Рис.1 в треугольнике АВС линия ВD является биссектрисой. Она выходит с вершины В и делит сторону АС пополам. То есть отрезок AD равен отрезку DC (AD = DC).

На Рис.2 отрезок EH является биссектрисой. Она выходит с вершины Е и делит сторону FG пополам (FH = HG).

 Равнобедренный треугольник

       Равнобедренный треугольник – это такое треугольник, у которого два бедра (стороны) равны между собой. Углы равнобедренного треугольника при основе (линии, расположенной против боковых равных сторон) всегда равны.

• Припустим, что на Рис.1 в полученном треугольнике ADB стороны AD и DB равны, тогда Ð BAD = Ð ABD = x;
• Поскольку, BD биссектриса, то BD = DC и в треугольнике BDC – BC является основой;
• Поскольку, стороны AD = DB = DC, то ÐDСB = ÐBCD = x;
• В треугольнике ABC: ÐBAC = ÐBCA = x, ÐABC = x + x = 2x;
• Поскольку сумма углов треугольника равна 180⁰, то получаем уравнение

x + x + 2x = 180

4 x = 180

x = 45

• Вывод: ÐBAC = ÐBCA = 45⁰, ÐABC = 2 * 45 =90⁰

Если равнобедренный треугольник на Рис.1 получается с равными сторонами AB  и BD, тогда:

• согласно условию задачи, в треугольнике BDC равными сторонами будут BD и DC.
• Поскольку, AD = DC и BD = DC и AB = BD, то треугольники ABD и DBC являются равносторонними.
• В равносторонних треугольниках все углы равны 60⁰.
• Тогда ÐBAC = ÐBCA = 60⁰, а ÐABC = 2 * 60 =120⁰

Ответ: в исходном треугольнике два угла по 45⁰ и один угол 90⁰; или два угла по 60⁰, а один угол 120⁰ в случае если полученные треугольники являются равносторонними.