Какова наибольшая возможная площадь треугольника, у которого одна из вершин является центром окружности радиуса 2, а

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи: какова наибольшая площадь треугольника, вершиной которого является центр окружности с радиусом 2 ед., а так же известно, что две другие вершины лежат на окружности, составим алгоритм решения задачи.

Алгоритм решения задачи

Составим алгоритм для решения задачи:

• проанализируем дано и найдем вид треугольника и величину его двух сторон;
• вспомним подходящую для нашего треугольника формулу для нахождения площади;
• выясним от чего зависит значение площади;
• найдем наибольшую площадь треугольника.

Определим вид треугольника и величину сторон

Итак, нам известно, что одна из вершим треугольника является центром окружности, а две другие лежат на окружности и соответственно являются радиусами для данной окружности.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Значит треугольник является равнобедренным и длины двух сторон равны по 2 ед.

Находим площадь равнобедренного треугольника

Величины двух сторон нам известны, значит для нахождения площади мы можем воспользоваться формулой нахождения площади.

S_ABC = 1/2 * a * b * sin ∠ ABC.

Площадь треугольника равна полу произведению сторон треугольника на синус угла между ними.

Значение длин двух сторон нам известно, значит значение площади зависит от синуса угла между этими сторонами.

Наибольшее значение равное 1 синус принимает при 90⁰.

Значит угол ∠ ABC = 90⁰.

Подставляем найденные значения в формулу для нахождения площади и вычисляем.

S_ABC = 1/2 * a * b * sin ∠ ABC = 1/2 * 2 * 2 * 1 = 4/2 = 2 кв. ед.

Ответ: при заданных условиях наибольшая площадь треугольника равна 2 кв. ед.

Рисунок: http://bit.ly/2zF1cjW.

Пусть угол между сторонами треугольника АО и ОС равен a.

ΔАОС – равнобедренный, потому что АО = АС = 2 (АО и ОС выходят из центра окружности, радиус которой r = 2).

ОС = АО = r = 2;

ОМ = r * cos (a / 2);

МС = r * sin (a / 2).

Площадь S треугольника АОС:

S = (AC/2) * OM = МС * ОМ = r * cos (a / 2) * r * sin (a / 2) = r² * cos (a / 2) * sin (a / 2)  =

= r² / 2 * sin a = (2² / 2) * sin a = 2 sin a.

Наибольшее значение sin a = 1 при a = 90°. Наибольшее значение площади S = 2 * 1 = 2.

Ответ: Наибольшая возможная площадь треугольника равна 2.