Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А(7;3),В(7;6),С(2;1) .

Давайте запишем дано:

Дан треугольник ABC заданный координатами точек его вершин.

A(7; 3); B(7; 6) и C(2; 1).

Нужно найти площадь треугольника.

Составим алгоритм для решения задачи.

• найдем длинну сторон треугольника;
• с помощью теоремы косинусов найдем величину угла АВС;
• найдем площадь заданного треугольника.

Найдем длинну сторон треугольника

Для нахождения длины сторон треугольников воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости.

Вспомним формулу:

Итак, если нам заданы две точки с координатами A (x_a; y_a) B(x_b; y_b), то расстояние между ними можно найти по формуле:

AB = √((x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2)

Найдем длины всех сторон заданного треугольника.

AB = √((7 - 7)^2 + (6 - 3)^2) = √(0 + 3^2) = √3^2 = 3;

AC = √((2 - 7)^2 + (1 - 3)^2) = √(25 + 4) = √29;

BC = √((2 - 7)^2 + (1 - 6)^2) = √(25 + 25) = √5^2 * 2 = 5√2.

Находим градусную величину угла АВС

Вспомним теорему косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB * BC * cos∠ABC;

cos∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2)/(2AB * BC).

Подставляем найденные значения длин сторон треугольника в выражение и находим градусную меру угла.

cos∠ ABC = (3^2 + (5√2)^2 - (√29)^2)/(2 * 3 * 5√2) = (9 + 50 - 29)/30√2 = 30/30√2 = 1/√2;

∠ ABC = 45⁰.

Для нахождения площади треугольника нам понадобится синус угла АВС. Найдем его:

sin ∠ ABC  = √2/2.

Находим площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника будем использовать формулу площади треугольника через синус:

S_ABC = 1/2 * AB * BC * sin ∠ ABC;

S_ABC = 1/2 * 3 * 5√2 * √2/2 = (3 * 5√2 * √2)/2 * 2 = (15 * 2)/(2 * 2) = 15/2 = 7.5 кв. единиц.

Ответ: S_ABC = 7,5 кв. единиц.

Площадь треугольника в данном случае можно вычислить по формуле: S = 1 / 2 [ (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) ].При этом x1 = 7, х2 = 7, х3 = 2, у1 = 3, у2 = 6, у3 = 1;S = 1 / 2 [ (7 - 2) (6 - 1) - (7 - 2) (3 - 1) ] = 1 / 2 (25 - 10) = 1 / 2 * 15 = 7,5.