Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Докажите что прямые AC и BD параллельны

Построим чертеж по данным задачи. Отрезки AB и CD пересекаются под произвольным углом. Точку пересечения назовем О, она делит каждый отрезок на 2 равные части, поскольку является их общей серединой. Точку А соединим сточкой В, точку C - с точкой D.

http://bit.ly/2hCYeoa

 

Применим Признак равенства треугольников

На чертеже получились 2 треугольника AOC и BOD, которые равны между собой по признаку «Равенство двух сторон и угла между ними»:

• так как точка О является серединой отрезка АВ, то АО=ОВ (одна сторона);
• так как точка О является серединой отрезка CD, то CO=OD (вторая сторона);
• угол AOC = углу BOD, потому что эти углы вертикальные, они образовались пересечением двух отрезков и расположены друг напротив друга (угол между двумя сторонами треугольника).

 

Следствие из равенства двух треугольников

Если треугольники равны, то равны их соответствующие стороны и углы. Углы, находящиеся напротив равных сторон, так же равны между собой.

 

Значит:

• если стороны CO = OD, то противолежащие им угол CAO = угол DBO;
• если стороны AO = OB то противолежащие им угол ACO = угол BDO;

 

Рассмотрим пересечение отрезков AC и BD отрезком AB

Угол CAO и угол DBO являются внутренними накрест лежащими, причем они равны.

Так как внутренние накрест лежащие углы равны, то можно сделать вывод, что отрезки AC и BD параллельны, поскольку это один из признаков параллельности прямых.

 

Аналогичные рассуждения приводят к тому же выводу, если рассматривать пересечение отрезков AC и BD отрезком CD.

Дано:отрезок AB,отрезок CD,точка О — точка пересечения отрезков АВ и СD,СО = ОD,АО = ОВ.Доказать, что прямые AC и BD параллельны.Доказательство:Рассмотрим треугольник АОС и треугольник DОВ. Угол АОС = углу DОВ так как они вертикальные. Стороны СО = ОD и АО = ОВ по условию. Следовательно треугольник АОС = DОВ. Тогда угол ОАС = углу DВО, а они являются накрест лежащими для прямых АС и DВ и секущей СD, значит АС параллельно DВ. Что и требовалось доказать.