Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=3,

Рисунок по условию задачи: http://bit.ly/2zifZmi

Периметр параллелограмма рассчитывают по формуле:

  Р  =  2 * (a + b),     Р - периметр,  a - сторона_1 (ВС или AD),  b - сторона_2 (ВА или CD).

Исходя из формулы, порядок решения задачи должен быть следующий:

• найти длину стороны_1;
• найти длину стороны_2;
• найти периметр.

Находим длину стороны_1 параллелограмма

Стороны ВС и AD, равны между собой.

Сторона ВС параллелограмма разделена биссектрисой угла А на два отрезка - ВК и СК. И ее длина равна сумме их длин.

 ВС  =  ВК + СК  =  3 + 19  =  22.

Значит длина стороны_1 параллелограмма равна 22.

Находим длину стороны_2 параллелограмма

Стороны ВА и СD, также равны между собой.

Прямые ВС и AD параллельны друг другу, т.к. являются сторонами параллелограмма.

Прямая АК пересекает эти две параллельные стороны и образует с ними одинаковые углы. Так угол_KAD равен углу_EKC:

 угол_KAD  =  угол_EKC.

Сам угол_KAD равен углу_BAK, т.к. эти два угла образованы биссектрисой АК, разделившей пополам угол_BAD. Значит все эти три угла равны.

 угол_KAD  =  угол_BAK  =  угол_EKC.

Угол_ЕКС является вертикальным углом с углом_ВКА, а значит равен ему, по свойству вертикальных углов. Значит все четыре угла равны.

 угол_KAD  =  угол_BAK  =  угол_EKC  =  угол_BKА.

 Рассмотрим треугольник АВК.

Т.к. углы ВКА и ВАК равны, значит треугольник АВК равносторонний и стороны ВК и ВА равны между собой.

 ВА  =  ВК  =  3.

Значит длина стороны_2 параллелограмма равна 3.

Находим периметр параллелограмма

Применим описанную выше формулу.

Р  =  2 * (a + b)  =  2 * (22 + 3)  =  2 * 25  =  50.

 

Ответ: периметр АВСD равен 50.

 

Дано: АВСD - параллелограмм, АК - биссектриса, ВК =3, СК = 19.Найти: РАВСD - ?Решение:Т.к. АК - биссектриса, то ∠ ВАК =∠ КАD. Рассмотрим треугольник АВК. ∠ КАD = ∠ BKA (накрестлежащие, при параллельных прямых ВС и АD и секущей АК). Следовательно ∠ BKA = ∠ BAK, треугольник АВК - равнобедренный, АВ = ВК = 3.По свойству параллелограмма АВ = СD = 3. BC = BK + KC = 3 + 19 = 22. BC = AD = 22.P = 2 * AB + 2 * AD = 2 * 3 + 2 * 22 = 6 + 44 = 50.Ответ: 50.