Дано: SABC - правильная пирамида

CB=AC=AB=4; угол SCO = 60 градусов

Найти: S боковой поверхности

Для построения искомого сечения проведем дополнительно апофему SD в боковой грани SBC, а затем отложим отрезок ME в треугольнике SAD параллельно стороне AD: так как ME || AD и M — середина AS, то E — середина SD. Тогда получаем, что MNE — искомая плоскость. Осталось показать, что продолжение NE падает в точку С, то есть точка E лежит на отрезке NС.

Для этого можно отдельно рассмотреть треугольник SBC и провести в нем дополнительный отрезок DL параллельно стороне NС. Тогда DL является средней линией для треугольника BNC, а значит,  Применим теорему, обратную теореме Фалеса, для угла BSD. Из пропорциональности отрезков

заключаем, что  поэтому 

Таким образом получили, что MNB — искомое сечение тетраэдра, и оно отсекает от него треугольную пирамиду BMNS. Заметим, что если рассмотреть в качестве основания полученной пирамиды треугольник SMN, то высота, проведенная из точки B на плоскость SMN, совпадает с высотой пирамиды SABC. Из формулы для объема пирамиды получаем (считаем для удобства, что все ребра равны 1):

Ответ: 1 : 6.