Внутри выпуклого четырёхугольника площади s взята точка. Найдите площадь четырёхугольника , вершинами которого являются

 http://bit.ly/2i9qPAS

 Дано: АВСD – четырехугольник

S_АВСD = S

О – внутри АВСD

точки N, P, K, M – симметричны относительно сторон BC, CD, AD, AB.

Найти: S_MNPK

 Решение:

Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника

Так как F₁, F₂, F₃, F₄ – середины ON, OP, OK и ОМ,

причем ON ^ BC, OP ^ CD, OK ^ AD, OM ^ AB, то

S_MON = 2S_BF1OF4;

S_NOP = 2S_CF1OF2;

S_POK = 2S_DF2OF3;

S_MOK = 2S_AF3DF4.

Такимобразом

S_MNPK = 2S_BF1OF4 + 2S_CF1OF2 + 2S_DF2OF3 + 2S_AF3DF4 = 2S_АВСD

То есть S_MNPK = 2S

 Ответ: S_MNPK = 2S

   Пусть имеем выпуклый четырехугольник ABCD, точка O находится внутри ABCD, а точки P, Q, R и S являются серединами его сторон AB, BC, CD и DA соответственно (http://bit.ly/2iDSTgS).

   Построим точки P1, Q1, R1 и S1, симметричные точке O относительно точек P, Q, R и S.

   Рассмотрим треугольники OPQ и OP1Q1. Они подобны, поскольку углы POQ и P1OQ1 совпадают, а стороны пропорциональны:

      P1O : PO = Q1O : QO = 2,

   следовательно, стороны P1Q1 и PQ пропорциональны с таким же коэффициентом:

      P1Q1 : PQ = 2.

   Таким же образом можем доказать, что

      Q1R1 : QR = R1S1 : RS = S1P1 : SP = 2.

   Поскольку четырехугольники PQRS и P1Q1R1S1 состоят из четырех подобных треугольников, то они тоже подобны с таким же коэффициентом пропорциональности: 2. Из этого следует:

      S_P1Q1R1S1 = 4 * S_PQRS.

   Так же можем доказать, что треугольники ABC и PBQ, BCD и QCR, CDA и RDS, DAB и SAP, входящие в состав четырехугольника PQRS, тоже подобны.

   Обозначим:

      S_SAP = a; S_PBQ = b; S_QCR = c; S_RDS = d.

   Тогда:

      S_DAB = 4a; S_ABC = 4b; S_BCD = 4c; S_CDA = 4d.

   Поэтому можем составить уравнения:

      S_ABCD = S_ABC + S_CDA = 4b + 4d = 4(b + d);

      S_ABCD = S_DAB + S_BCD = 4a + 4c = 4(a + c).

   Отсюда следует, что:

      b + d = a + c;

      S_ABCD = 2 * (a + b + c + d) = s;

• S_PQRS = S_ABCD - (S_SAP + S_PBQ + S_QCR + S_RDS);
• S_PQRS = 2 * (a + b + c + d) - (a + b + c + d);
• S_PQRS = a + b + c + d = 1/2 * s.

   А для площади четырехугольника SP1Q1R1S1 получим:

      SP1Q1R1S1 = 4 * SPQRS = 4 * 1/2 * s = 2s.

   Ответ: 2s.