Две окружности друг друга внутренне касаются в точке А. Меньшая окружность касается хорды ВС большей окружности в точке

   AB = c;   AC = b = 40;   BC = a = 24;   CH = l = 15;   ∠A = α;   ∠B = β;   ∠C = γ;   BH = x;   AH = y;   R, r - радиусы окружностей.

   1. Проведем хорду BD ⊥ O₁O₂ (http://bit.ly/2AF4yXB). Радиус, перпендикулярный хорде, делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам:

      ∠CBD = ∠BAC = α;

      ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = β - α.

   2. O1H ⊥ AB, следовательно:

      ∠HO₁O₂ = ∠ABD = β - α.

   В равнобедренном треугольнике HCO₁ - угол ∠HO₁O₂ внешний:

      ∠O₁HC = ∠O₁CH = 1/2 * ∠HO₁O₂ = 1/2 * (β - α).

   3. ∠BPC = 90°:

      ∠BCP = 90° - ∠CBP = 90° - α;

      ∠BCH = ∠BCP - ∠O₁CH = 90° - 1/2 * (β + α).

   4. Угол ∠BCH равен половине ∠ACB:

      1/2 * ∠ACB = 1/2 * (180° - ∠ABC - ∠BAC) = 1/2 * (180° - β - α) = 90° - 1/2 * (β + α) = ∠BCH,

следовательно CH - биссектриса треугольника ABC.

   CH делит сторону AB на части, пропорциональные сторонам BC и AC:

      BH : ВС = AH : AC = k, где k - коэффициент пропорциональности;

      x : a = k; => x = ak;

      y : b = k; => y= bk.

   Применим теорему косинусов для BCH и ACH:

      {x² = a² + l² - 2al * cos(γ/2)      {y² = b² + l² - 2bl * cos(γ/2)

      {2al * cos(γ/2) = a²(1 - k²) + l²      {2bl * cos(γ/2) = b²(1 - k²) + l²

   Решив систему уравнений, получим:

      k = √(1 - l² / ab);

• k = √(1 - 15² / 24 * 40) = 7/8;
• x = ka = 7/8 * 24 = 21;
• y = kb = 7/8 * 40 = 35;
• c = x + y = 21 + 35 = 56.

   По известной формуле для радиуса описанной окружности:

      R = 1/4 * abc / √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p = 1/2 * (a + b + c) - полупериметр треугольника, вычислим R:

      R = 56/√3;

   Ответ: 56/√3.