Основание треугольника равно 26. Медианы его боковых сторон равны 30 и 39. Найти площадь этого треугольника.

sДля начала решения задачи следует нарисовать рисунок http://bit.ly/2A6oX4E

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Так как мы знаем длины медиан, то мы можем найти длины их частей:

CO + ON = CN => 2x + x = 36 => 3x = 36 => x = 13 => ON = 13 и CO = 26

AO + OM = AM =>2y + y = 30 => 3y = 30 => y = 10 => OM = 10 и AO = 20

Найдём площадь треугольника AOC

Нам известны все стороны треугольника:

• AC = 26 (по условию задачи)
• AO = 20 (нашли выше)
• CO = 26 (нашли выше)

Поэтому найдём площадь по формуле Герона: 

S_AOC = (p(p-AC)(p-AO)(p-CO))^(1/2)

p - полупериметр p = P/2 = (AC+AO+CO)/2 = (26+20+26)/2 = 36

S_AOC = (36*(36-26)(36-20)(36-26))^(1/2) = (36*10*16*10)^(1/2) = 6*10*4 = 240

Найдём площадь треугольника COM

CH - высота из точки C к прямой AM

Площадь треугольника AOC: S_AOC = CH*AO/2 = 240 = 20*CH/2 => CH = 24

Площадь треугольника COM: S_COM = CH*OM/2 = 24*10/2 = 120

Далее получим площадь треугольника AMC: S_AMC = S_COM + S_AOC = 120+240 = 360

Медиана делит площадь  треугольника пополам.

Поэтому площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника AMC. S_ABC = 2S_AMC = 720

Дан △ABC: AC = 26, AM = 30 и CK = 39 — медианы, проведенные к сторонам BC и AB, соответственно. 1. Длина медианы треугольника, находится по формуле:m = (√(2 * a² + 2 * b² – c²))/2,где c — сторона, к которой проведена медиана, a и b — другие стороны треугольника.Тогда:AM = (√(2 * AB² + 2 * AC² – BC²))/2;CK = (√(2 * AC² + 2 * BC² – AB²))/2.Подставим данные по условию значения:(√(2 * AB² + 2 * 26² – BC²))/2 = 30;(√(2 * 26² + 2 * BC² – AB²))/2 = 39.Обозначим AB как x, а BC как y и получим систему уравнений с двумя переменными:(√(2 * x² + 1352 – y²))/2 = 30;(√(1352 + 2 * y² – x²))/2 = 39. 2. Решим систему уравнений. В первом уравнении выразим y:(√(2 * x² + 1352 – y²))/2 = 30;√(2 * x² + 1352 – y²) = 60;2 * x² + 1352 – y² = 3600;– y² = 3600 - 2 * x² - 1352;y² = 2 * x² - 2248;y = √(2 * x² - 2248).Полученное выражение подставим во второе уравнение:(√(1352 + 2 * (2 * x² - 2248) – x²))/2 = 39;√(1352 + 2 * 2 * x² - 2 * 2248 – x²) = 78;4 * x² - x² - 4496 + 1352 = 6084;3 * x² = 6084 + 3144;3 * x² = 9228;x² = 9228/3;x² = 3076;x = √3076.Найдем y:y = √(2 * 3076 - 2248) = √(6152 – 2248) = √3904.Таким образом, стороны △ABC равны:AB = √3076;BC = √3904;AC = 26. 3. Найдем площадь △ABC по формуле Герона:S = √(p * (p – a) * (p – b) * (p – c)),где p — полупериметр.Полупериметр:p = (AB + BC + AC)/2 = (√3076 + √3904 + 26)/2.Найдем площадь △ABC:S = √((√3076 + √3904 + 26)/2 * ((√3076 + √3904 + 26)/2 – √3076) * ((√3076 + √3904 + 26)/2 – √3904) * ((√3076 + √3904 + 26)/2 – 26)) = √((√3076 + √3904 + 26)/2 * (√3076 + √3904 + 26 – 2 * √3076)/2 * (√3076 + √3904 + 26 – 2 * √3904)/2 * (√3076 + √3904 + 26 - 52)/2) = √((√3076 + √3904 + 26)/2 * (- √3076 + √3904 + 26)/2 * (√3076 - √3904 + 26)/2 * (√3076 + √3904 - 26)/2) = √((3904 + 52√3904 + 676 – 3076)/4 * (3076 – 676 + 52√3904 – 3904)/4) = √((52√3904 + 1504)/4 * (52√3904 – 1504)/4) = √((13√3904 + 376) * (13√3904 – 376)) = √(659776 – 141376) = √518400 = 720.Ответ: S = 720.