Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным тангенсу этого угла? Обоснуйте ответ

Так как необходимо проверить, может ли в прямоугольном треугольнике синус острого угла быть равен тангенсу этого угла, то можно приравнять синус к тангенсу:sinx = tgx;Теперь распишем тангенс:sinx = sinx / cosx;sinx = 1 / cosx (поскольку sinx сокращается);Следовательно, выразим cosx: cosx = 1;косинус равен 1, только для угла в 0 градусов, что невозможно;Ответ: в прямоугольном треугольнике синус угла не может быть равен тангенсу этого угла.

Поскольку тригонометрические функции sin и tg выражаются через соотношение сторон прямоугольного треугольника, то для проведения рассуждений набросаем соответствующий чертеж.

Рисуем прямоугольный треугольник

1. для чистоты расчетов рисуем прямоугольный треугольник с разными длинами катетов;
2. обозначаем вершины А, В и С (где С=90 градусов);
3. для удобства назовем стороны малыми буквами вершин, напротив которых они расположены (а и b – катеты, с - гипотенуза).

http://bit.ly/2zZKGwZУ прямоугольного треугольника всегда есть один угол, равный 90 градусов, и 2 других меньше 90 градусов. То есть, и угол В, и угол А всегда острые. Поэтому без разницы, относительно какого угла строить доказательство. Будем рассматривать угол А.

Найдем синус угла А

По определению синус угла обозначает отношение противолежащего углу А катета к гипотенузе. Напротив угла А находится катет - а, гипотенуза – с, значит:sin A = a/c

Найдем тангенс угла А

По определению, чтобы найти тангенс угла, нужно противолежащий углу катет разделить на прилежащий катет. Противолежащим углу А является катет – а, прилежащий катет – в, значит:tg A = a/b

Приравняем синус и тангенс угла А

Допустим, sin A = tg A, тогда должно выполняться равенство:а/с = а/b.

Равенство может иметь место только в том случае, если с = b. Но этого не может быть, потому что гипотенуза всегда больше любого катета. Это же выплывает из того, что если стороны треугольника одинаковы, то и углы напротив одинаковы, но в треугольнике не может быть 2 угла по 90 градусов.

Вывод: синус острого угла прямоугольного треугольника не может быть равным тангенсу этого же угла.