В равнобедреном треугольнике боковая сторона равна 8корней из2 при основании равен 45 градусов найдите высоту треугольника

Нам необходимо найти высоту опущенную на основание равнобедренного треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC

Предположим, что нам дан равнобедренный треугольник ABC в котором:

• AC является основанием данного треугольника;
• AB и BC являются боковыми сторонами треугольника. По условию задачи и свойствам равнобедренности треугольника соответственно равны;
• AB = BC = 8 sqrt 2 см;
• угол <A = 45^о;
• BH - высота данного треугольника опущенная на основание.

sqrt - корень квадратный.

 

Найти длину высоты равнобедренного треугольника можно двумя способами

1.

При помощи теоремы синусов.

Рассмотрим треугольник ABH. Так как BH является высотой треугольника ABC следовательно мы можем утверждать, что <H = 90^о и как следствие треугольник ABH является прямоугольным.

Мы знаем, что данная теорема говорит о следующем:

Длины сторон треугольника соответственно пропорциональны синусам противолежащих им углов. 

То есть данная теорема устанавливает взаимосвязь между величинами углов и длинами противолежащих сторон.

Опираясь на наше условие, теорема синусов будет выглядеть следующим образом:

AB / sin Н = BH / sin A

Выразим из данной формулы BH:

BH = AB * sin A / sin H = 8 sqrt 2 * sin 45 / sin 90 = 8 sqrt 2 * (sqrt 2) / 2 * 1 = 8 * 2 / 2 = 8 * 1 = 8 см

2.

Через формулу медианы.

В равнобедренном треугольнике высота опущенная на основание также является биссектрисой и медианой.

Мы знаем, что биссектриса делит угол пополам следовательно <B = 90^о  и треугольник ABC является прямоугольным.

Для нахождения медианы прямоугольного треугольника треугольника опущенной из прямого угла существует формула:

BH = 1/2 * sqrt (AB² + BC²) = 1/2 * sqrt (2 * AB²) = 1/2 * AB * sqrt 2 = 8 sqrt 2 * (sqrt 2) / 2 * 1 = 8 см

Ответ: 8 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона - гипотенуза, высота и половина основания - катеты. Высота, проведенная к основанию заданного треугольника, является катетом, противолежащим углу при основании. Таким образом, искомую высоту можем найти как произведение синуса угла при основании на боковую сторону:h = sin 45° * 8√2 = (√2 / 2) * 8√2 = 8.