Найдите наибольший и наименьший углы выпуклого четырёхугольника если они пропорциональны числам а)2:4:5:7;б) 3:7:4:6

Возьмем произвольный четырёхугольник ABCD. Обозначим углы этого четырёхугольника как α, β, γ, δ:

∠DAB = α; ∠ABC = β; ∠BCD = γ; ∠CDA = δ;

Требуется вычислить самый большой и самый маленький из них.

Сумма углов четырёхугольника

Диагональ AC делит ABCD на два треугольника – ABC и ACD. Как известно, сумма внутренних углов произвольного треугольника равна 180°:

∠CAB + β + ∠BCA = 180°;

∠CAD + δ + ∠DCA = 180°;

Складывая эти два уравнения, получаем равенство:

(∠CAB + ∠CAD) + β + (∠BCA + ∠DCA) + δ = 360°;

α + β + γ + δ = 360°;

о том, что сумма внутренних углов произвольного четырёхугольника равна 360°

Вычисление углов четырёхугольника

Поскольку углы четырёхугольника пропорциональны числам по тексту задачи, то введем коэффициент пропорциональности и обозначим его как k.

Для решения данной задачи необходимо:

• Выразить углы четырёхугольника, используя k;
• Из полученного выше равенства вычислить k;
• Найти величины углов четырёхугольника, и определить какой из них является наибольшим, а какой – наименьшим.

По первому заданию получаем:

α = 2 * k; β = 4 * k; γ = 5 * k; δ = 7 * k;

и далее:

2 * k + 4 * k + 5 * k + 7 * k = 360;

k = 20;

Вычисляем углы:

α = 2 * k = 40° – наименьший угол;

β = 4 * k = 80°;

γ = 5 * k = 100°;

δ = 7 * k = 140° – наибольший угол;

По второму заданию получаем:

α = 3 * k; β = 7 * k; γ = 4 * k; δ = 6 * k;

3 * k + 7 * k + 4 * k + 6 * k = 360;

k = 18

Вычисляем углы:

α = 3 * k = 54° – наименьший угол;

β = 7 * k = 126° – наибольший угол;

γ = 4 * k = 72°;

δ = 6 * k = 108°.

Дано:АВСЕ — четырёхугольник ,1) угол А : угол В : угол С : угол Е = 2 : 4 : 5 : 7;2) угол А : угол В : угол С : угол Е = 3 : 7 : 4 : 6;Найти градусные меры углов четырехугольника АВСЕ: угла А, угла В, угла С, угла Е — ?Решение:Рассмотрим четырехугольник АВСЕ.1) Пусть градусная мера угла А равна 2 * х градусов, тогда градусная мера угла В равна 4 * х градусов, градусная мера угла С равна 5 * х градусов, градусная мера угла Е равна 7 * х градусов. Нам известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Составляем уравнение:2 * х + 4 * х + 5 * х + 7 * х = 360;х * (2 + 4 + 5 + 7) = 360;х * 18 = 360;х = 360 : 18;х = 20 градусов;2 * 20 = 40 градусов — градусная мера угла А;20 * 4 = 80 градусов — градусная мера угла В;20 * 5 = 100 градусов — градусная мера угла С;20 * 7 = 140 градусов — градусная мера угла Е.2) Пусть градусная мера угла А равна 3 * х градусов, тогда градусная мера угла В равна 7 * х градусов, градусная мера угла С равна 4 * х градусов, градусная мера угла Е равна 6 * х градусов. Нам известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Составляем уравнение:3 * х + 7 * х + 4 * х + 6 * х = 360;х * (3 + 7 + 4 + 6) = 360;х * 20 = 360;х = 360 : 20;х = 18 градусов;3 * 18 = 54 градуса — градусная мера угла А;18 * 7 = 126 градусов — градусная мера угла В;18 * 4 = 72 градуса — градусная мера угла С;18 * 6 = 108 градусов — градусная мера угла Е.Ответ: 1) 40 градуса; 80 градусов; 100 градуса; 140 градусов; 2) 54 градуса; 126 градусов; 108 градусов; 108 градусов.