Высота ромба равна 5 см, Найдите его сторону если угол между стороной ромба и одной из его диагоналей равен 75 градусов

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, следовательно, один из углов ромба равен 75 * 2 = 150 градусов.Площадь ромба можно определить как произведение его высоты на сторону или как произведение квадрата стороны на синус угла между ними: S = а * h = a2 * sin α. Отсюда,h = a * sin α;a = h / sin α = 5 / 0,5 = 10 см.

Возьмем ромб ABCD и обозначим его сторону через a. По определению, длины всех сторон ромба равны между собой:

|AB| = |BC| = |CD| = |AD| = a;

Проведем в ромбе ABCD высоту BK и CN из вершин B и C к стороне AD и диагонали BD и AC. По условию задачи:

|BK| = |CN| = h = 5 (см);

и примем угол DBK между высотой BK и диагональю BD равным 75°:

∠DBK = α = 75°.

В задаче требуется найти длину сторон ромба ABCD.

Свойства углов в ромбе

Для решения задачи воспользуемся некоторыми свойствами ромба:

• диагонали ромба пересекаются под прямым углом, BD ⊥ AC;
• треугольник, образованный диагональю ромба и двумя прилежащими сторонами, является равнобедренным;
• диагональ, связывающая две вершины, например, B и D является одновременно биссектрисой этих углов B и D ромба

Соответственно, из треугольника BKD получаем:

∠BDK = 90° - α;

и

∠CDK = 2 * (∠BDK) = 2 * (90° - α) = 180° - 2 * α;

Вычисление стороны ромба ABCD

Возьмем прямоугольный треугольник CND. В этом треугольнике сторона ромба CD является гипотенузой, а высота CN – катетом. Как известно, отношение катета к гипотенузе равняется синусу противолежащего катету угла. Соответственно, получаем:

|CN| / |CD| = sin(∠CDK);

h / a = sin(180° - 2 * α) = sin(2α);

a = h / sin(2α);

Подставляя имеющиеся данные, получаем:

a = h / sin(2α) = 5 / sin(2 * 75°) = 5 / sin(150°) = 5 / sin(30°) = 5 / (0,5) = 10;

Ответ: сторона ромба равна 10.