В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM

Треугольники CNM и ABC подобны, потому что у них есть общий угол С, а образующие угол С стороны относятся как 1:2.MC/BC=1/2,NC/AC=1/2.Площади подобных треугольников ABC и MCN относятся как квадраты отношений соответствующих сторон:SCNM / SABC = NC2 / AC2;2 / SABC = 1 / 4;SABC = 8 см2.Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольников ABC и CNM:SABMN = SABC - SCNM = 8 см2 – 2 см2 = 6 см2.Ответ: 6 см2.Рисунок: http://bit.ly/2gMbjOB.

Начнем с построения заданного треугольника ABC

Треугольник может быть произвольным, поэтому лучше чертить треугольник с разными сторонами и разными мерами углов:

1. чертим треугольник с вершинами АВС;
2. отмечаем середину стороны ВС точкой М;
3. отмечаем середину стороны АС точкой N;
4. соединяем точки M и N;
5. засечками помечаем равенство отрезков CN=NА, CM=MВ.

 

Анализируем построенный треугольник и зависимость площади четырехугольника ABMN от площади треугольника CNM

http://bit.ly/2hV3RBF

Из построения видно, что четырехугольник ABMN получается отсечением треугольника CNM от большого треугольника АВС. Это означает, что

Площадь ABMN = Площадь АВС – Площадь CNM.

 

Площадь CNM известна из условия задачи. А площадь АВС нужно найти или выразить через площадь треугольника CNM.

 

Рассмотрев все формулы площади треугольников, можно заметить, что площадь треугольника, которая находится по двум сторонам и углу между ними больше всего подходит для данной задачи, потому что оба треугольника (АВС и CNM) имеют общий угол С, а стороны, которые его образуют, пропорциональны: АС=2*СN, BC=2*CM.

 

Рассчитаем площадь четырехугольника ABMN

Для дальнейшего удобства введем следующие обозначения:

CN = NА = а,

CM = MВ = b,

Угол С = с.

 

Тогда площадь CNM:

S (CNM) = 1/2*a*b*sin(c) = 2 (из условия задачи).

 

Так как, АС=2*а, ВС=2*b, то

S (ABC) = 1/2*2*a*2*b*sin(c) = 4*1/2*a*b*sin(c).

 

Значит,

S (ABMN) = S (ABC) - S (CNM);

S (ABMN) = 4*1/2*a*b*sin(c) - 1/2*a*b*sin(c) = 1/2*a*b*sin(c)*(4-1) = S(CNM)*3 = 2*3 =6.