В треугольнике ABC угол с=90 AB=12 AC=5. Найдите синус и тангенс A

Дано: прямоугольный треугольник АВС;угол С = 90;AB = 12;AC = 5.Найти: sin A и tg А — ?Решение:1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):АС^2 + ВС^2 = АВ^2;5^2 + ВС^2 = 12^2;25 + ВС^2 = 144;ВС^2 = 144 - 25;ВС^2 = 119;ВС = √119;2. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:sin A = ВС/АВ;sin A = √119/12.3. tg А = ВС/АС;tg А = √119/5.Ответ: sin A = √119/12; tg А = √119/5.

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

• найдем длину стороны ВС данного треугольника АВС;
• используя теорему синусов, найдем синус угла при вершине А данного треугольника АВС;
• используя известное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1, найдем косинус угла при вершине А данного треугольника;
• зная, чему равны синус и косинус угла при вершине А данного треугольника, найдем тангенс этого угла.

Решение задачи.

Находим длину стороны ВС данного треугольника АВС

Согласно условию задачи, величина угла с в данном треугольнике составляет 90°, длина стороны АВ равна 12, а длина стороны АС равна 5.

Следовательно, данный треугольник является прямоугольным с гипотенузой АВ, равной 12 и катетом АС, равным 5, и мы можем найти длину стороны ВС, используя теорему Пифагора:

|BC| = √(|АВ|² - |АC|²) = √(12² - 5²) = √(144 - 25) = √119

Находим синус угла а данного треугольника АВС

Поскольку напротив угла а лежит сторона ВС данного треугольника, а напротив угла с лежит сторона АВ данного треугольника угла, то применяя теорему синусов, можем записать следующее соотношение:

|BC| / sin(a) = |AB| / sin(c).

Подставляя в данное соотношение значения |BC| = √119, |AB| = 5, c = 90°, получаем:

√119 / sin(a) = 5 / sin(90°).

Поскольку sin(90°) = 1, получаем:

sin(α) = 5/√119.

Находим косинус угла при вершине А данного треугольника

Подставляя в известное тригонометрическое тождество sin²(а) + cos²(а) = 1 значение sin(α) = 5/√119, получаем:

(5/√119)² + cos²(а) = 1;

25/119 + cos²(а) = 1;

cos²(а) = 1 - 25/119;

cos²(а) = 119/119 - 25/119;

cos²(а) = 94/119.

Поскольку данный угол является острым и косинус острого угла положительный, можем записать:

cos(а) = √(94/119).

Находим тангенс угла при вершине А данного треугольника

tg(α) = sin(а) / cos(а) = (5/√119) / (√94/√119) = (5/√119) * (√119/√94) = 5/√94.

Ответ: sin(α) = 5/√119, tg(α) = 5/√94.