• Отрезок AB длиной 12 см разделен точками M и N на три равные части. Проекция отрезка MN на луч AC равна 2 см. Найдите

Ответы 2

  • Возьмем угол величиной α с вершиной в точке А. На одной из сторон этого угла возьмем точку B, и внутри получившегося отрезка AB отметим точки M и N так, чтобы они делили этот отрезок на три равные части:

    |AM| = |MN| = |NB| = 1/3 * |AB|;

    Проведем перпендикуляры MK, NL и BD из точек M, N и B к другой стороне угла, на луч AC. По условию задачи:

    |AB| = 12 (см);

    и проекция KL отрезка MN равна 2 см:

    |KL| = 2 (см);

    Заметим, что точки K, L и D лежат на луче AC. В задаче требуется вычислить косинус угла BAC или cosα.

    Подобие треугольников

    Рассмотрим три треугольника – MKA, NLA и BDA. Эти треугольники:

    • являются прямоугольными, т.к. MK ⊥ AK, NL ⊥ AL и BD ⊥ AD, и ∠MKA = ∠NLA = ∠BDA = 90°;
    • имеют общий одинаковый угол α = ∠MAK = ∠NAL = ∠BAD;
    • имеют равные по величине третьи углы ∠KMA = ∠LNA = ∠DBA = 90° - α.

    Таким образом, поскольку все три угла этих треугольников равны, то они подобны, и, значит:

    |BA| / |DA| = |NA| / |LA| = |MA| / |KA|;

    Вычисление cosα

    Как известно, отношение катета к гипотенузе равняется косинусу угла между ними. Соответственно, для треугольников MKA и NLA получаем:

    |LA| / |NA| = cosα;

    |KA| / |MA| = cosα;

    Далее имеем:

    |LA| = |NA| * cosα;

    |KA| = |MA| * cosα;

    Вычитая из первого равенства второе, получаем:

    |LA| - |KA| = (|NA| - |MA|) * cosα;

    или

    |KL| = |MN| * cosα;

    По условию задачи:

    |MN| = 1/3 * |AB| = 1/3 * 12 = 4 (см);

    |KL| = 2 (см);

    Подставляя эти значения, находим косинус требуемого угла:

    cosα = | KL| / |MN| = 2 / 4 = 1/2;

    Ответ: косинус угла BAC равен 1/2.

    • Автор:

      ghoulie
    • 4 года назад
    • 0
  • По условию задачи:

    |AM| = |MN| = |NB| = 4;

    Пусть K; L; C – проекции точек M; N и B на луч AC. Тогда:

    Из прямоугольного треугольника NAL: |AL| = |AN|* cos(BAC);

    Из прямоугольного треугольника MAK: |AK| = |AM|* cos(BAC);

    Вычитая из первого равенства второе, получаем:

    |AL| - |AK| = |AN|* cos(BAC) - |AM|* cos(BAC) = (|AN| - |AM|)* cos(BAC) = |MN| * cos(BAC);

    Учитывая, что по условию задачи:

    |AL| - |AK| = |KL| = 2;

    получаем:

    2 = 4 * cos(BAC);

    cos(BAC) = 1/2;

    Ответ: косинус угла BAC равен 1/2.

  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years