В выпуклом многоугольнике число диагоналей, исходящих из вершины, равно 15. Найти число всех диагоналей этого многоугольника.

  В этой задаче требуется посчитать количество диагоналей выпуклого многоугольника, если известно, что из каждой вершины исходит 15 диагоналей.

Данные многоугольника

  Для решения рассмотрим многоугольник с n вершинами и d диагоналями, исходящими из каждой вершины:

• n - количество вершин многоугольника;
• d - количество диагоналей, исходящих из каждой вершины;
• D - общее количество диагоналей выпуклого многоугольника.

Подсчет количества диагоналей

  Число вершин этого многоугольника равно n = 18. Это все вершины, с которыми данная вершина соединена диагоналями, и плюс сама эта вершина и две соседних. С соседними вершинами эта вершина соединена сторонами выпуклого многоугольника.Тогда, количество диагоналей данного многоугольника будет равно произведению количества вершин на количество диагоналей, исходящих из одной вершины, деленному пополам:

D = (n · d) / 2 = (18 · 15) / 2 = 135;

На два делим, так как все диагонали многоугольника мы посчитали дважды.Ответ: Число всех диагоналей этого многоугольника D = 135.

В выпуклом многоугольнике количество диагоналей, проведенных из одной вершины, на 3 меньше, чем число вершин данного многоугольника.Найдем количеств вершин данного многоугольника:d₁ = n – 3;n = d + 3;n = 15 + 3 = 18.Количество всех возможных проведенных диагоналей в многоугольнике находится по формуле:d = (n² – 3 * n)/2,где d — число возможных разных диагоналей, n — количество вершин многоугольника.Мы выяснили, что у многоугольника 18 вершин. Подставим данное значение в формулу и найдем количество всех возможных диагоналей восемнадцатиугольника:d = (18² – 3 * 18)/2 = (324 – 54)/2 = 270/2 = 135.Ответ: число всех диагоналей многоугольника, в котором из одной вершины можно провести 15 диагоналей, равно 135.