Периметр равностороннего треугольника равен 108√3 найдите его высоту

Определения терминов

Равносторонний треугольник – правильный треугольник, у которого все стороны равны. У равностороннего треугольника все углы равны 60 градусам.

Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный от вершины треугольника к противоположной стороне.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный к противоположной стороне под углом 90 градусов.

Свойства высоты равностороннего треугольника

Известно, что высота треугольника делит его на 2 прямоугольных треугольника с основанием 90 градусов. Высота равностороннего треугольника является также его медианой, поэтому делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, где боковые стороны являются гипотенузой, высота и половина основания – катетами.

Итак, зная периметр равностороннего треугольника, найдем его стороны.

Периметр любой фигуры равен сумме её сторон. В данном случае все 3 стороны равны, поэтому 1 сторона составляет:

108√3 / 3 = 36 √3;

Итак, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 36 √3. Найдем первый катет, который составляет половину гипотенузы.

(36 √3) / 2 = 18 √3;

Теорема Пифагора

Далее осталось найти только второй катет треугольника.

Для этого вспомним теорему Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

a^2 + b^2 = c^2;

Отсюда:

a^2 = c^2 - b^2;

Итак, найдем второй катет:

• a^2 = (36 √3)^2 - (18 √3);
• a^2 = 1296 * 3 - 324 * 3;
• a^2 = 3888 - 972;
• a^2 = 2916;
• a = √2916 = 54.

Итак, катет прямоугольного треугольника, который одновременно является высотой равностороннего треугольника, равен 54.

Ответ: 54.

Дано:равносторонний треугольник АВС,Р АВС = 108√3,ВО — высота.Найти длину высоты ВО — ?Решение:Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. У него все стороны равны, то есть АВ = ВС = АС. Следовательно АВ = ВС = АС = 108√3 : 3 = 36√3.Высота ВО является медианой и биссектрисой. Тогда АО = ОС = 1/2 * АС = 1/2 * 36√3 = 18√3.Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО.По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):АО^2 + ВО^2 = АВ^2 (выразим из данного равенства катет ВС^2);ВО^2 = АВ^2 - АО^2;ВО^2 = (36√3)^2 - (18√3)^2;ВО^2 = 3888 - 972;ВО^2 = 2916;ВО = 54.Ответ: 54.