Углы, образовавшиеся при пересечения диагоналей прямоугольника, относятся как 2:7. Найдите углы, которые образуют диагональ

Нам нужно найти градусные меры углов, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника, если известно, что углы образовавшиеся при пересечения диагоналей прямоугольника, относятся как 2 : 7.

Решать задачу будем по алгоритму

• начертим рисунок к задаче;
• вспомним свойства смежных углов и найдем градусную меру углов, образованных пересечением диагоналей прямоугольника;
• определим вид треугольника, образованного диагоналями с стороной прямоугольника;
• вспомним свойство углов при основании равнобедренного треугольника;
• вспомним теорему о сумме углов треугольника и найдем углы образованные диагоналями со сторонами прямоугольника.

Начертим рисунок и вспомним свойство смежных углов

Рисунок к задаче http://bit.ly/2hRLr4C.

ABCD — данный прямоугольник;

О — точка пересечения диагоналей АС и ВD.

∠ AOB  : ∠ BOC = 2 : 7;

Нужно найти: ∠ BAC и ∠ CAD.

Углы ∠ AOB  и ∠ BOC являются смежными.

Согласно свойства смежных углов их сумма равна 180º.

Составим и решим линейное уравнение:

2х + 7х = 180;

9х = 180;

х = 180: 9;

х = 20.

∠ AOB = 2 * 20⁰ = 40⁰.

∠ BOC = 7 * 20⁰ = 140⁰.

Определим вид треугольника AOB, найдем углы при основании треугольника

Итак, треугольник  АОB равнобедренный, так как  ВО = АО согласно свойству прямоугольника (точка пересечения диагоналей прямоугольника делит их пополам). 

Следовательно, согласно свойству углов равнобедренного треугольника (углы при основании равнобедренного треугольника равны) ∠ ABO = ∠ BAO.

Согласно теореме о сумме углов треугольника ∠ АВО = ∠ ВАО = (180⁰ - 40⁰) : 2 = 70⁰.

∠ BAC = 70⁰. 

Так как угол ∠ BAD = 90⁰ (так как ABCD прямоугольник). Значит ∠ САD (∠ ОАD) = 90⁰ - ∠ ВАC = 90⁰ - 70⁰ = 20⁰.

Ответ: 70⁰ и 20⁰ .

 

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, образуются пары двух равных равнобедренных треугольников.Пусть дан прямоугольник ABCD: AC = BD — диагонали, тогда △AOB = △COD и △AOD = △BOC. 1. По условию ∠AOB : ∠BOC = 2 : 7.∠AOB + ∠BOC = 180° (как смежные).Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:∠AOB/∠BOC = 2/7;∠AOB + ∠BOC = 180°.В первом уравнении выразим ∠AOB:∠AOB = (2 * ∠BOC)/7.Подставим выражение во второе уравнение:(2 * ∠BOC)/7 + ∠BOC = 180°;(2 * ∠BOC)/7 + (7 * ∠BOC)/7 = 180°;(2 * ∠BOC + 7 * ∠BOC)/7 = 180°;(9 * ∠BOC)/7 = 180°;∠BOC = (7 * 180°)/9;∠BOC = 140°.Найдем ∠AOB:∠AOB = (2 * 140°)/7 = 40°. 2. Рассмотрим △AOB: ∠BAO = ∠ABO = x.∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180° (по теореме о сумме углов треугольника);x + x + 40° = 180°;2 * x = 180° - 40°;2 * x = 140°;x = 140°/2;x = 70°.Таким образом, диагонали AC и BD образуют с шириной прямоугольника углы, равные 70°. 3. Рассмотрим △BOC: ∠CBO = ∠BCO = y.∠CBO + ∠BCO + ∠BOC = 180° (по теореме о сумме углов треугольника);y + y + 140° = 180°;2 * y = 180° - 140°;2 * y = 40°;y = 40°/2;y = 20°.Таким образом, диагонали AC и BD образуют с длиной прямоугольника углы, равные 20°.Ответ: 70° и 20°.