Биссектриса равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5/3 найдите периметр треугольника,

nnnn

http://bit.ly/2hU5pM2

n

Дано:

n

AB = AC

n

BD – высота

n

AE – биссектриса

n

BO:OD = 5:3

n

BD = 24 см

n

 

nnnnn

Найти: p?

nnnnn

Решение: Пусть x – коэффициент пропорциональности, тогда BO = 5x, а OD = 3x. Составим и решим уравнение:

n

nНаходим высоту BDn

n

5x + 3x = 24;

n

8x = 24;

n

х = 3.

n

Отсюда получаем: BO = 15 см, OD = 9 см.

n

В какой точке пересекаются биссектрисы

n

Из курса планиметрии известно, что:

n

n
• высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой;
n
• точка пересечения биссектрис является центром окружности, вписанной в треугольник;
n
• OD = 9 см – этот факт мы установили выше.
n

n

OE – перпендикуляр, опущенный на сторону BC. OE = 9 см.

n

Треугольники BDC и OEB подобны – это два прямоугольных треугольника, у которых общий угол DBC. Из подобия имеем:

n

В прямоугольном треугольнике BEO

n

Из вышеприведенного отношения имеем, что DC = 18 см. Тогда AC = 36 см.

n

Из прямоугольного треугольника ABD .

n

BC = AC = 30 см.

n

Тогда периметр треугольника ABC = 36 + 30 + 30 = 96 см.

n

Эту же задачу можно решить с использованием тангенса. Однако это не совсем корректно – в школе эту тему проходят позднее.

n

Ответ: периметр треугольника 96 см.

BD – высота и биссектриса угла В одновременно, потому что треугольник АВС равнобедренный. Точка E пересечения биссектрис CМ и BD — центр вписанной окружности. ЕD радиус этой окружности.

BD/ED = 8/3;

ED = 3*BD / 8 = 3*24 / 8 = 9 см.

Отрезок ВЕ = BD – ED = 24 – 9 = 15 см.

Перпендикуляр ЕK к стороне ВС — радиус вписанной окружности: ЕК = 9 см.

ВК = √ВЕ2- ЕК2 = √152 - 92 = 12 см.

Треугольники ВЕК и ВДС подобны (прямоугольные, с одним общим острым углом DBC).

Решение: http://bit.ly/2f9gF2J.

Ответ: 96 см.