Биссектриса равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5/3 найдите периметр треугольника,

http://bit.ly/2hU5pM2

Дано:

AB = AC

BD – высота

AE – биссектриса

BO:OD = 5:3

BD = 24 см

 

Найти: p?

Решение: Пусть x – коэффициент пропорциональности, тогда BO = 5x, а OD = 3x. Составим и решим уравнение:

Находим высоту BD

5x + 3x = 24;

8x = 24;

х = 3.

Отсюда получаем: BO = 15 см, OD = 9 см.

В какой точке пересекаются биссектрисы

Из курса планиметрии известно, что:

• высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой;
• точка пересечения биссектрис является центром окружности, вписанной в треугольник;
• OD = 9 см – этот факт мы установили выше.

OE – перпендикуляр, опущенный на сторону BC. OE = 9 см.

Треугольники BDC и OEB подобны – это два прямоугольных треугольника, у которых общий угол DBC. Из подобия имеем:

В прямоугольном треугольнике BEO

Из вышеприведенного отношения имеем, что DC = 18 см. Тогда AC = 36 см.

Из прямоугольного треугольника ABD .

BC = AC = 30 см.

Тогда периметр треугольника ABC = 36 + 30 + 30 = 96 см.

Эту же задачу можно решить с использованием тангенса. Однако это не совсем корректно – в школе эту тему проходят позднее.

Ответ: периметр треугольника 96 см.

BD – высота и биссектриса угла В одновременно, потому что треугольник АВС равнобедренный. Точка E пересечения биссектрис CМ и BD — центр вписанной окружности. ЕD радиус этой окружности.BD/ED = 8/3;ED = 3*BD / 8 = 3*24 / 8 = 9 см.Отрезок ВЕ = BD – ED = 24 – 9 = 15 см.Перпендикуляр ЕK к стороне ВС — радиус вписанной окружности: ЕК = 9 см.ВК = √ВЕ2- ЕК2 = √152 - 92 = 12 см.Треугольники ВЕК и ВДС подобны (прямоугольные, с одним общим острым углом DBC).Решение: http://bit.ly/2f9gF2J.Ответ: 96 см.