DM и CK биссектрисы углов D и C трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Найдите угол между этим биссектрисами

1. Сделаем рисунок.

http://bit.ly/2kcHQig

2. Вспомним свойства углов трапеции.

Нас интересует свойство про углы, прилежащие к боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна 180°. Значит:

∠BCD + ∠ADC = 180°.

3. Найдем сумму углов ECD и EDC.

Так как биссектриса CK делит ∠BCD пополам, а биссектриса DM делит пополам ∠ADC. Тогда:

∠ECD = ∠BCD : 2;

∠EDC = ∠ADC : 2.

Следовательно, их сумма будет равна:

∠ECD + ∠EDC = ∠BCD : 2 + ∠ADC : 2;

∠ECD + ∠EDC = (∠BCD + ∠ADC) : 2.

Сумма ∠BCD + ∠ADC = 180°, значит

∠ECD + ∠EDC = 180°: 2;

∠ECD + ∠EDC = 90°.

4. Определим угол между биссектрисами.

Рассмотрим треугольник EDC.

Сумма всех трех углов любого треугольника равна 180°:

∠ECD + ∠EDC + ∠CED = 180°.

Значит, ∠CED = 180° - (∠ECD + ∠EDC);

∠CED = 180° - 90°;

∠CED = 90°.

Ответ: угол между биссектрисами DM и CK равен 90°.