вершина параллелограмма и середины двух его противоположных сторон образуют равносторонний треугольник. Найдите углы

1. Сделаем рисунок.

http://bit.ly/2BzGqmq

2. Рассмотрим треугольник BEF.

По условию это равносторонний треугольник. Значит:

BE = BF = EF;

∠FBE = ∠BEF = ∠EFB = 180° : 3 = 60°.

3. Найдем ∠AFB.

BC || AD, BF - секущая. Значит,

∠AFB = ∠FBE = 60°, как внутренние накрест лежащие.

4. Рассмотрим треугольник ABF.

В нем AF = BF, так как AF является половиной AD, а BF - половина BC, также AD = BC. Следовательно, AF = BF.

Значит, треугольник ABF равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. То есть

∠BAF = ∠FBA.

Найдем их.

∠BAF + ∠FBA + ∠AFB = 180°;

∠BAF + ∠FBA + 60° = 180°;

∠BAF + ∠FBA = 180° - 60°;

∠BAF + ∠FBA = 120°;

∠BAF = ∠FBA = 120° : 2;

∠BAF = ∠FBA = 60°.

5. Найдем все углы параллелограмма.

У параллелограмма противолежащие углы равны.

∠BAF = ∠BCD = 60°.

∠ABC = ∠ADC = ∠FBA + ∠FBE;

∠ABC = ∠ADC = 60° + 60°;

∠ABC = ∠ADC = 120°.