Через середины рёбер АА1, ВВ1 и СС1 куба проведена плоскость. Доказать,что эта плоскость параллельна плоскости АВС

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/33h7KCm).

Рассмотрим боковую грань АА₁Д₁Д куба.

Так как у куба длины всех ребер равны, а по условию, точки А₂, В₂, С₂ и Д₂ середины ребер, то отрезки АА₂, ВВ₂, СС₂, ДД₂ равны между собой и равны половине длины ребра.

Прямоугольные треугольники АДА₂ и А₂Д₂Д равны по двум катетам, тогда АД = А₂Д₂, а четырехугольник АА₂Д₂Д прямоугольник АД || А₂Д₂.

Аналогично АВ || А₂В₂, СД || С₂Д₂, а значит, плоскость А₂В₂С₂Д₂ параллельна плоскости АВС, что и требовалось доказать.