Площадь прямоугольного треугольника равна 8√2, а острый угол 22,5°. Найдите гипотенузу

Обозначим через а и b катеты данного прямоугольного треугольника.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что площадь данного прямоугольного треугольника составляет 8√2, следовательно, имеет место следующее соотношение:

а * b / 2 = 8√2.

Также в условии задачи сказано, что острый угол треугольника равен 22.5°, следовательно, имеет место следующее соотношение:

а = b * tg(22.5°).

Подставляя данное значение а = b * tg(22.5°) в уравнение а * b / 2 = 8√2, получаем:

b * tg(22.5°) * b / 2 = 8√2;

b^2 * tg(22.5°) / 2 = 8√2;

b^2 = 16√2 / tg(22.5°) = 16√2 * ctg(22.5°).

Найдем а^2:

а^2 = (b * tg(22.5°))^2 = b^2 * tg^2(22.5°) = 16√2 * ctg(22.5°) * tg^2(22.5°) = 16√2 * tg(22.5°).

Используя теорему Пифагора, находим гипотенузу:

√(а^2 + b^2) = √(16√2 * tg(22.5°) + 16√2 * ctg(22.5°)) = 4√(√2 * tg(22.5°) + √2 * ctg(22.5°)) = 4√(√2 / (sin(22.5°) * cos(22.5°)) = 4√(2√2 / sin(45°)) = 4√(2√2 / (√2/2)) = 4√4 = 4 * 2 = 8.

Ответ: 8.