Высота СД, проведенная из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника АВС,равна 12см, а отрезок АД равен 9 см.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2C1W5xk).

Первый способ.

Квадрат высоты, проведенный из вершины прямого угла равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

СД² = АД * ВД.

12² = 9 * ВД.

ВД = 144 / 9 = 16 см.

Из прямоугольного треугольника АСД, по теореме Пифагора определим гипотенузу АС.

 АС² = СД² + АД² = 144 + 81 = 225.

АС = 15 см.               

Докажем, что треугольники АВС и АСД подобны.

Оба треугольника прямоугольные, треугольник АВС по условию, треугольник АД по построению, так как СД высота к АВ. Угол А у треугольников общий, значит треугольник АВС подобен треугольнику АСД по острому углу.

Из подобия треугольников имеем: АВ / АС = АС / АД.

(9 + ВД) / 15 = 15 / 9.

81 + 9 * ВД = 225

9 * ВД = 144 см.

ВД = 16 см.

Ответ: Длина ВД равна 16 см.