Угол между высотой правильной четырехугольной пирамиды и ее боковым ребром равен 60° найдите площадь полной поверхности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2vAeX1v).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АОК, у которого угол О прямой, А - 60⁰, а угол К = 180 – 90 – 60 = 30⁰. Тогда катет АО, будет равен АО = КО / tg60⁰ = 10/ √3.

Так как в основании пирамиды квадрат, АВ =  АС / √2 = (2 * АО) / √2 = 20 / √6.

Sосн = АВ² = (20/ √6)² = 200/3 =  см².

Апофема КМ будет равна КМ = √(КО² + ОМ²) = √(100 + 100/6) = 10 * √(7/6).

Найдем площадь боковой поверхности, которая равна половине произведения апофемы и периметра основания.

Sбок = (4 * АВ * КМ) / 2 = (4 * 20 / √6 * 10 * √(7/6) / 2 = 200 * √7 / 6 =  = 200 * √7 / 3.

Тогда общая площадь пирамиды равна: S = 200/3 + 200 * √7 / 3 = 200 * (1/3 + √7/3) = 200 * (1 + √7)/3.

Ответ: S = 200 * (1 + √7)/3.