В окружность вписан правильный треугольник с площадью 12 корень из 3 см в квадрате. найти длину окружности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2VjTQMA).

Зная площадь равностороннего треугольника АВС определим длину его стороны.

Saвс = АС² * √3 / 4.

АС² = 4 * Sавс / √3 = 4 * 12 * √3 / √3 = 48.

АС = √48 = 4 * √3 см.

Так как треугольник АВС равносторонний, то его углы при вершине равны 60⁰.

Вписанный угол АВС = 60⁰, тогда центральный угол АОС = АВС * 2 = 60 * 2 = 120⁰.

В треугольник АОС отрезки АО и СО есть радиусы окружности, тогда, по теореме Пифагора:

АС² = R² + R² – 2 * R * R * Cos120⁰.

48 = 2 * R² – 2 * R² * (-1/2).

3 * R2 = 48.

R2 = 48 / 3 = 16.

R = 4 см.

Определим длину окружности.

L = 2 * π * R = 8 * π.

Ответ: Длина окружности равна 8 * π см.