В правильном шестиугольнике со стороной 10 см вписана окружность. Найти радиус ,сторону квадрата вписанного в эту окружность

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2EdiB7e).

Так как шестиугольник правильный, то все его стороны равны, тогда они делят окружность на шесть равных дуг, градусная мера каждой из которых равна: дуга АВ = 360 / 6 = 60⁰.

Проведем радиусы ОА и ОВ окружности. В треугольнике АОВ центральный угол АОВ равен градусной мере дуги АВ. Угол АОВ = 60⁰, а ОА = ОВ = R. Тогда треугольник АОВ равносторонний, ОА = ОВ = АВ = R = 10 см.

Диагональ вписанного квадрата есть диаметр окружности. ЕН = D = 2 * R = 20 см.

В прямоугольном треугольнике ЕРН ЕР = РН как стороны квадрата, тогда острые углы треугольника равны 45⁰.

РН = ЕН * Cos45 = 20 * √2 / 2 = 10 * √2 см.

Ответ: Радиус окружности равен 10 см, сторона квадрата равна 10 * √2 см.