Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен а(альфа), а прилежащий к нему угол равен b(бета). Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом y. Найдите боковое ребро пирамиды.

Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (SO) пирамиды явялется середина гипотенузы (AC) основания пирамиды. 

В прямоугольном треугольнике ABC:

Катет AB = a

∠ABC = 90°

∠ACB = f

Тангенсом ∠ACB явялется отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету BC.

tg(ACB) = AB / BC

BC = AB / tg(ACB)

BC = a / tg(f)

Площадь основания пирамиды SABC:

Sосн = 1/2 * AB * AC

Sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f))

Синусом ∠ACB является отношение противолежащего ему катета AB к гипотенузе AC

sin(ACB) = AB / AC

AC = AB / sin(ACB)

AC = a / sin(f)

CO = AC / 2          a

CO = 1/2 * a/sin(f) = --------------

                   2sin(f)

В прямоугольном треугольнике SOC:

Катет CO = a / (2sin(f))

∠SCO = β

SO = H пирамиды

Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему катету CO

tg(SCO) = SO / CO

SO = CO * tg(SCO)

SO = CO * tg β

                      a * tg β

SO = a / (2sin(f)) * tg β = -------------------

                      2sin(f)

Объем пирамиды

V = 1/3 * Sосн * H

     1       a²        a * tg β     a³ * tg β

V = --------- * ---------------- * --------------- = ----------------------------

     3       2tg(f)      2sin(f)     12 * tg(f) * sin(f)