В треугольнике ABC известно, что АВ=13, ВС=15, АС=14. Из точки В на сторону АС проведены биссектриса ВВ1 и высота ВН.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Ejy04U).

Определим по теореме Герона площадь треугольника АВС.

Полупериметр треугольника АВС равен: р = (АВ + ВС + АС) / 2 = 42 / 2 = 21 см.

Тогда Sавс = √21 * (21 – 15) * (21 – 14) * (21 – 13) = √7056 = 84 см².

Так же площадь треугольника АВС равна: Sавс = АС * ВН / 2.

ВН = 2 * Sавс / АС = 2 * 84 / 14 = 12 см.

Так как ВВ1 биссектриса, тона делит сторону АС на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам.

Пусть отрезок СВ1 = Х см, тогда АВ1 = (14 – Х) см.

ВС / СВ1 = АВ / АВ1.

15 / Х = 13 / (14 – Х).

13 * Х = 210 – 15 * Х.

28 * Х = 210.

Х = 210 / 28 = 7,5 см.

Тогда АВ1 = 14 – 7,5 = 6,5 см.

Пусть длина отрезка АН = У см.

Выразим высоту ВН из двух прямоугольных треугольников ВСН и АВН.

ВН² = АВ² – АН² = 169 – У².

ВН² = ВС² – СН² = 225 – (14 – У)².

169 – У² = 225 – 196 + 28 * У – У².

28 * У = 140.

У = АН = 5 см, тогда В1Н = АВ1 – АН = 6,5 – 5 = 1,5 см.

Sвв1н = В1Н * ВН / 2 = 1,5 * 12 / 2 = 9 см².

Ответ: Площадь треугольника ВВ1Н равна 9 см².