Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна L, а плоский угол при вершине - альфа. Найдите площадь полной поверхности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2H4zrqy).

Боковые грани правильной пирамиды есть равнобедренные треугольники, у которых апофема есть высотой, медианой и биссектрисой треугольника. Тогда в треугольнике КСД, СН = ДН, угол ДНК = α / 2, а треугольники КНД и КНС прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике КНД, tg(α / 2) = ДН / КН = ДН / L.

ДН = L * tg(α / 2), тогда СД = 2 * L * tg(α / 2) см.

Определим площадь основания пирамиды.

Так как в основании лежит квадрат, то Sосн = ДН² = 4 * L² * tg²(α / 2) см².

Площадь боковой грани пирамиды равна: Sксд =  КН * СД / 2 = L * 2 * L * tg(α / 2) / 2 = L² * tg(α / 2) , тогда Sбок = 4 * L² * tg(α / 2) см².

Sпов = Sбок + Sосн = 4 * L² * tg(α / 2) + 4 * L² * tg²(α / 2) = 4 * L² * tg(α / 2) * (1 + tg(α / 2) см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна 4 * L² * tg(α / 2) * (1 + tg(α / 2) см².