4. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из них равна 32. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 20. Найдите

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BowqNi).

Произведем дополнительные построения.

Проведем через вершину С прямую СК параллельную ВД, а так же прямую СР параллельную МН.

Так как четырехугольник ВСКД параллелограмм, то ДК = ВС. Площадь треугольника АСК равна: Sаск = АК * ВЕ / 2 = (АД + ДК) * ВЕ / 2.

Площадь трапеции АВСД равна: Sавсд = (ВС + АД) * ВЕ / 2. Ток как ВС = ДК, то Sаск = Sавсд.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны, а отрезок СК параллелен ВД, то АС перпендикулярно СК, а треугольник АСК прямоугольный.

По условию ВМ = СМ, а АН = ДН. Длина отрезка АР = АН + РН, длина отрезка КР = ДР + ДК = ДН – РН + ДК = АН – РН + 2 * РН = АН + РН.

Поучается АР = КР, а следовательно, СР медиана прямоугольного треугольника АСК. По свойству медианы прямоугольного треугольника СР = АК / 2 = 20 см, тогда АК = 2 * 20 = 40 см. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АСК определим длину катета СК.

СК2 = АК2 – АС2 = 402 – 322 = 1600 – 1024 = 576.

СК = 24 см.

Определим площадь треугольника АСК. Sаск = АС * СК / 2 = 32 * 24 / 2 = 384 см².

Тогда и площадь трапеции равна 384 см².    

Ответ: Площадь трапеции равна 384 см².