В основании призмы АВСА1В1С1 равносторонний треугольник АВС со стороной а. Вершина А1 проектируется в центр основания,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2CvCIfN).

Определим длину высота АН равностороннего треугольника в основании призмы.

АН = а * √3 / 2.

Высоты в равностороннем треугольнике, в точке пересечения, делятся в отношении 2 / 1, начиная с вершины.

АО = 2 * ОН.

АО + ОН = АН = АО + АО / 2 = 3 * АО / 2 = а * √3 / 2.

АО = а * √3 / 3 см.

В прямоугольном треугольнике АА1О определим катет ОА1.

ОА1 = AO * tgα = (а * √3 / 3) * tgα cм.

Площадь равностороннего треугольника равна: Sосн = а² * √3 / 4 см².

Определим объем призмы.

V = Sосн * ОА1 = (а² * √3 / 4) * (а * √3 / 3) * tgα = а³ * tgφ / 4 см³.

Ответ: Объем призмы равен а³ * tgφ / 4 см³.