В треугольнике ABC ∠ACB=90°, AB=10, cos∠ABC=0,6. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольник, в которого один из углов равен 90º называется прямоугольным.

Для вычисления площади данного треугольника удобнее всего использовать формулу Герона:

S = √p(p – a)(p – b)(p – c); где:

S – площадь треугольника;

р – полупериметр (р = (a + b + c) / 2);

a – сторона АВ;

b – сторона ВС;

c – сторона АС.

Для этого нудно найти длину неизвестных сторон ВС и АС.

Для вычисления стороны ВС применим теорему косинусов. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos В = ВС / АВ;

ВС = АВ · cos В;

ВС = 10 ∙ 0,6 = 6 см.

Для вычисления стороны АС применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

АВ² = ВС² + АС²;

АС² = АВ² – ВС²;

АС² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64;

АС = √64 = 8 см.

р = (10 + 6 + 8) / 2 = 12 см;

S = √(12 ∙ (12 – 10) ∙ (12 – 6) ∙ (12 – 8)) = √(12 ∙ 2 ∙ 6 ∙ 4) = √576 = 24 см².

Ответ: площадь треугольника равна 24 см².