В ромб вписан круг. Каждая сторона ромба точкой касания делится на отрезки, длины которых равны а и b. Найдите отношение

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BVSYXp).

Так как точка Н есть точка касания, то отрезок ОН перпендикуляр к АВ, а следовательно OН высота прямоугольного треугольника CВО.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

ОН² = ВН * СН = a * b.

ОН = √(a * b).

Длина стороны ромба равна: BC = a + b.

Определим площадь ромба.

Sавсд = ВС * ОН = (a + b) * √(a * b).

Определим площадь круга.

Sкр = п * R² = п * (√(a * b))² = п * а * b.

Тогда Sкр / Sавсд = (п * а * b) / (a + b) * √(a * b) = п * √(a * b) / (а + b).

Ответ: Отношение площадей равно п * √(a * b) / (а + b).