Диагональ правильнойчетырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30⁰. Найдите: а) сторону

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2OuTdMT).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС1, у которого, по условию, угол С1 = 30⁰, тогда катет АВ, лежащий против угла 30⁰, равен половине длины гипотенузы ВС1.

АВ = ВС1 / 2 = а / 2 см.

Определим длину диагонали квадрата АВСД. ВС = АВ * √2 = а * √2 /2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСС1 и определим величину угла СВС1.

CosСВС1 = СВ / ВС1 = (а * √2 /2) / 2 = √2 /2.

Угол СВС1 = arcos (а * √2 /2) = 45⁰.

Из прямоугольного треугольника СВС1 определим высоту призмы СС1.

Так как угол СВС1 = 45⁰, то треугольник СВС1 равнобедренный и ВС = СС1 = а * √2 /2.

Определим площадь боковой поверхности призмы.

Sбок = 4 * АВ * СС1 = 4 * (а / 2) * (а * √2 /2) = а² * √2 см².

Рассмотрим сечение АДК. Высота КН сечения есть средняя линия треугольника ВСС1, так как точка Н есть пересечение диагоналей и КН параллельна ВС1 по условию.

Тогда КН = ВС1 / 2 = а / 2.

Тогда площадь сечения равна:

Sсеч = АД * КН / 2 = (а * √2 /2) * (а / 2) / 2 = (а² * √2 /8) см².

Ответ:

а) АВ = а / 2 см.

б) Угол СВС1 = 45⁰.

в) Sбок = а² * √2 см².

г) Sсеч = (а² * √2 /8) см².