Высота равнобедренного треугльника, проведенная к основанию, равна 32 см, радиус окружности вписанной в треугольник 12

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2yESUIP).

Пусть боковая сторона треугольника АВС равна Х см, а основании АС – У см.

Тогда площадь треугольника АВС будет равна Sавс = АС * ВН / 2 = У * 32 / 2 = 16 * У.

Полупериметр треугольника будет равен: р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (2 * Х + У) / 2.

Тогда радиус вписанной окружности равен: r = S / p = 16 * У / (2 * Х + У) / 2.

12  = 32 * У / (2 * Х + У).

3 * (2 * Х + У) = 8 * У.

6 * Х = 5 * У.

Х = 5 * У / 6. (1).

В прямоугольном треугольнике АВН, по теореме Пифагора выразим катет АН.

АН2 = АВ2 – АН2.

(У / 2)² = Х² – 32².

У² / 4 = (25 * У² / 36) – 1024.

(25 * У² – 9 * У²) / 36 = 1024.

16 * У² = 36864.

У² = 2304.

У = АС = 48 см.

Х = АВ = ВС = 5 * 48 / 6 = 40 см.

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = 16 * У = 16 * 48 = 768 см².

Определим радиус описанной окружности.

R = АВ * ВС * АС / 4 * Sавс = 40 * 40 * 48 / 4 * 768 = 25 см.

Ответ: Радиус описанной окружности равен 25 см.