Точка М находится на расстоянии 27см от сторон равнобедренной трапеции. Найдите расстояние от точки М к плоскости трапеции,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QvJTsT).

Если точка не лежит в плоскости выпуклого многоугольника и ее расстояние от всех сторон многоугольника одинаково, то проекция этой точки на плоскость есть центр окружности вписанной в многоугольник.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований.

АД + ВС = АВ + СД = 30 + 16 = 46 см.

Так как трапеция равнобедренная, то АВ = СД.

Тогда 2 * АВ = 46.

АВ = СД = 46 / 2 = 23 см.

Проведем из вершины В трапеции высоту ВК, которая отсекает на основании АД отрезок АК длина которого равна полуразности основании.

АК = (АД – ВС) / 2 = (30 – 16) / 2 = 14 / 2 = 7 см.

Из прямоугольно треугольника АВК, по теореме Пифагора, определим высоту ВК.

ВК² = АВ² – АК² = 23² – 7² = 529 – 49 = 480.

ВК = 4 * √30 см.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, тогда R = ВК / 2 = 4 * √30 / 2 = 2 * √30 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОН, у которого, по условию, гипотенуза МН = 27 см, а катет ОН равен радиусу окружности, ОН = 2 * √30 см.

МО² = МН² – ОН² = 27² – (2 * √30)² = 729 – 120 = 609.

МО = √609 см.

Ответ: Расстояние от точки М до плоскости равно √609 см.