Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно 25 см^2

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/38W7tZv).

Так как у трапеции основания параллельны, то угол АСВ = САД как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АС.

Угол ВОС = АОД как вертикальные углы при пересечении диагоналей АС и ВД.

Тогда треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Sаод / Sвос = 16 / 25 = К².

К = 4/5.

Тогда ВС / АД = 4/5.

Высоты подобных треугольников относятся: НО / КО = 4/5. Пусть высота НК = 9 * Х, тогда НО = 4 * Х, КО = 5 * Х.

Площадь треугольника АОД равна: Sаод = АД * 5 * Х / 2 = 25.

АД = 10 / Х.

Площадь треугольника ВОС равна: Sвос = ВС * 4 * Х / 2 = 16.

ВС = 8 / Х.

Тогда площадь трапеции равна:

Sавсд = (ВС + АД) * НК / 2 = (8 / Х + 10 / Х) * 9 * Х / 2 = 81 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 81 см².